第 6 章 清晰断点回归

本章是对清晰断点回归的极简介绍。

6.1 思路

以下是学者最开始用清晰断点回归处理的例子。假设依据GPA（x）确定授予/不授予奖学金，具体方案如下：

  • GPA≥3.9，授予奖学金;
  • GPA<3.9，不授予奖学金。

问题：获得奖学金会改变学习计划（y）吗？这是可能的，比如大三面临考研，如果有足够的预算，理性的选择是采取一些有效率但费钱的方式，如报考研班（假设报班是有效率的）。得到奖学金，扩大了预算，提高了报考研班的概率——奖学金改变了学习计划。

怎么估计奖学金对学习计划的影响？一个简单的想法是比较得到和未得到奖学金的同学，将他们在学习计划方面的差异认定为奖学金对学习计划的影响。这样做有问题。想想为什么有的同学总能得到奖学金。因其学习计划性本来就比较好：看手机少看书多，有计划，遵守计划等。即使没有奖学金这个事，也会观测到两类学生在学习计划方面的差异。

但可以比较GPA刚好超过临界值3.9（3.9+ε，ε为任意小的正数）一点点的同学张三和刚好低于3.9（3.9-ε）一点点的同学李四。两人GPA微小的差距很可能是偶然因素造成的，如张三的跪舔得到了回应使其考试时状态好，而李四考试时感冒了。本身来讲，两人学习计划性差距甚微。但张三就是得到了奖学金，而李四未得。是否得到奖学金这件事这可能影响到学习计划性。因此，如果发现两人在学习计划方面存在明显的差异，那么这一差异几乎就是奖学金造成的。

严格地讲，两人学习计划性的差异包含两部分：第一，本身学习计划性的差异，由基因等决定。第二，奖学金对学习计划性的影响。当ε趋近于0时，两人GPA的差异趋近于0，第一部分趋近于0，两人学习计划性的差异趋近于奖学金对学习计划性的影响。

有无获得奖学金在3.9处有一个从无到有的跳跃。将3.9称为（清晰）断点。将比较（清晰）断点两侧一点点的观测值的方法称为（清晰）断点回归。

6.2 估计

图6.1是若干同学的散点图。

横轴是GPA。纵轴是学习计划性的指标y。竖线x=3.9右边的同学得到奖学金，左边未得。

竖线以右，基于这部分散点绘制拟合曲线，它是线性、连续的，当GPA从左侧趋近于3.9时，拟合值趋近于\(y_r\)，对应前例中ε趋近于0时的张三。竖线以左，基于这部分散点绘制拟合曲线，它是线性、连续的，当GPA从左侧趋近于3.9时，y趋近于\(y_l\)，对应前例中ε趋近于0时的李四。在断点处，拟合值有一个跳跃，幅度为\(y_r-y_l\equiv\rho\)，反映奖学金对y的影响。

Sharp RDD: estimation

图 6.1: Sharp RDD: estimation

怎么用数学表示这个跳跃？竖线左边观测值的拟合曲线和右边观测值的拟合曲线斜率相同、截距不同。截距差就是\(y_r-y_l\)，正是我们要找的奖学金对y的影响。

断点左边的拟合曲线：

\[\begin{align} \hat{\alpha}+\hat{\beta}x \tag{6.1} \end{align}\]

断点右边的拟合曲线：

\[\begin{align} \hat{\alpha}+\hat{\rho}+\hat{\beta}x \tag{6.2} \end{align}\]

涵盖所有观测值的总的拟合曲线怎么写？

如下：

\[\begin{align} \hat{\alpha}+\hat{\rho}D+\hat{\beta}x,\ D=1\ iff\ x\ge3.9 \tag{6.3} \end{align}\]

其中，D是奖学金的虚拟变量。

对应的计量模型为：

\[\begin{align} y=\alpha+\rho D+\beta x+u \tag{6.4} \end{align}\]

这是一个多元线性回归！D和x是两个自变量。D的系数表示奖学金的作用。Q：D由x构造而来，D和x之间是否存在多重共线性？

满足以下两个条件时，D的系数的OLS估计量无偏：

  • x不能被操纵。在本例中，这意味着学生不能通过不正当手段左右成绩，不正当手段包括跟老师说，我GPA就差一点点就到3.9，老师您给我加2分我就可以拿奖学金了；
  • 遗漏变量在断点处不存在跳跃。在例子中，这排除了下面的情况：父母宣称，子女GPA超过3.9，奖励1万元。若这样，奖学金的作用和父母奖励的作用混合在一起了，无法区分。

这两个条件比零条件均值假设弱，且可以用统计方法验证（思考验证思路）。

6.3 应用

中国冬日（城市）集中供暖以淮河为界，以北政府集中供暖，以南政府不集中供暖（见图6.2）。冬日集中供暖在人世最寒凉的时候予人温暖。同时产生空气污染物，危害人的健康，最终导致人的预期寿命减少。

如何估计冬日集中供暖对预期寿命的影响？思路是比较淮河两侧一点点的城市，淮河构成断点。数学上，只需将式(6.4)中的变量重新定义即可。定义x为城市距淮河多少纬度，在淮河以北为正，以南为负。如一个城市在淮河以北2个纬度，则其x为2；另一个城市在淮河以南1.5个纬度，则其x为-1.5。定义\(D=1\ iff\ x\ge0\)。

估计结果显示，冬日集中供暖使得预期寿命降低了约5年（Chen et al., 2013）！

Map of China mainland

图 6.2: Map of China mainland

注：沿海诸岛略。
资料来源：Chen et al (2013)。

参考文献

  • 安格里斯特, 皮施克. 基本无害的计量经济学：实证研究者指南[M]. 格致出版社, 2012, 第2.1节和6.1节.
  • Chen Y, Ebenstein A, Greenstone M, et al. Evidence on the impact of sustained exposure to air pollution on life expectancy from China’s Huai River policy[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences, 2013, 110(32): 12936-12941.